بحث عن الضرب الداخلي في الرياضيات
تُنفذ في المدارس بعض المواد الدراسية المختلفة للطلاب خلال فترة الدراسة، بهدف تزويدهم بمعرفة وعلوم متنوعة. يميل بعض الطلاب إلى بعض المواد بشكل أكبر من المواد الأخرى، بما في ذلك مادة الرياضيات. يتفاوت الطلاب في تفضيلهم لهذه المادة، ويوجد من يتخصص فيها أثناء الدراسة الثانوية. ونحن هنا لنبحث معًا عن موضوع الضرب الداخلي في الرياضيات وسنتعرف عليه بشكل أكبر من خلال مقال موسوعة .
بحث عن الضرب الداخلي في الرياضيات
الضرب الداخلي في الرياضيات هو عملية رياضية تحتوي على عدة فروع، حيث يمكن تطبيقه بأكثر من طريقة بناءً على مفهومه العام.
- يستخدم الضرب الداخلي بين متجهين لحساب طول المتجه وزاوية بينهما.
- يتم تطبيق الضرب الداخلي في الرياضيات الحسابية في الفضاء ثلاثي الأبعاد، ويتم استخدامه أيضًا في حساب بعض القوانين الفيزيائية.
- يمكن تطبيق قانون الضرب الداخلي لمعرفة الشغل المبذول والطاقة المغناطيسية أيضًا.
- هناك اختلاف بين الضرب العادي الذي يتم تدريسه في المراحل الابتدائية وبين الضرب الداخلي.
- الضرب العادي يتم بين الأعداد، أما الضرب الداخلي فيكون بين المتجهات، ويتم رمز المتجهات بالرمز (س، ص).
- يتم استخدام الضرب الداخلي عادة في قسم الجبر الخاص بمادة الرياضيات.
الضرب الداخلي لمتجهين في المستوى الإحداثي
في البداية يجب معرفة أننا سنرمز للمتجهين باستخدام الرمز (س) و (ص)، وسنشرح كيفية تطبيق الضرب الداخلي بين المتجهين.
- يعرف الضرب الداخلي لمتجهين (س، ص) كمنتج ضرب السينات لكل منهما، ثم جمع هذه المنتجات معًا.
- س = (س1 س2 ) ، ص = ( ص1 ص2).
- س ص = س1 ص1 + س2 ص2 .
- وناتج ضربهما يكون عددًا وليس متجهًا.
- يمكن أن يطلق على الضرب الداخلي بين المتجهات مصطلحات مثل الضرب القياسي أو الضرب التقاطعي أو إيجاد المتجه.
- إذا كانت الضربة الداخلية بين المتجهين تساوي الصفر، فإن المتجهين متعامدان، أي (س × ص) = صفر.
- تكون العلاقة بين المتجهين علاقة متعامدة، ويمكننا من خلال الضرب الداخلي التأكد من أن المتجهين متعامدان.
- يمكن تطبيق قاعدة الضرب الداخلي في هذا المثال لمعرفة ما إذا كان المتجهين متعامدين أم لا، حيث يكون المتجه (س) = (6،3)، والمتجه (ص) = (2،-4).
- نطبق قانون الضرب الداخلي لكي نحصل على الناتج النهائي من خلال: س×ص= س1ص1 × س2ص2.
- ص × س = (-4 × 3) + (2 × 6) = 0، وبالتالي المتجهان هنا متعامدان لأن ناتج الضرب الداخلي يساوي صفر.
- عند رسم هذه الأشكال الهندسية، يكون كل منهما متعامد على الآخر وتكون الزاوية بينهما مقدارها 90 درجة.
- المتجهات قياسية لأنهما مكتوبان على الصورة الإحداثية.
خصائص الضرب الداخلي
يتم استخدام قاعدة الضرب الداخلي في حساب طول المتجهات، وتحتوي على خصائص معينة تستخدم عادة لمعرفة طول المتجه.
الخاصية الإبدالية
- حاصل ضرب السينات في الصادات يساوي حاصل ضرب الصادات في السينات، أي أن (س×ص) = (ص×س).
- يُعَدُّ الضرب الداخلي بين المتجهات عملية إبدالية في الرياضيات.
- سنقوم بشرح هذه الخاصية من خلال توضيحها بالمثال التالي: إذا كان المتجه س = (3،5) والمتجه ص = (2،1).
- إذن س×ص= (5×1)+(3×2)=11.
- ص×س= (1×5)+(2×3)= 11.
- ومن هنا يتضح أن عملية الضرب الداخلي بين المتجهات هي عملية إبدالية.
خاصية التوزيع
- يتميز توزيع الضرب الداخلي بتوزيع العناصر الخارجية على كلاً من الجهات المتعاملة بالداخل.
- هذا المثال يفسر لنا ما تم إجماله فنجد أن: ع× (س+ص)= ع×س+ع×ص.
- ومن هنا، يتبين لنا أن خاصية التوزيع هي واحدة من خصائص الضرب الداخلي للمتجهات.
خاصية الضرب في عدد حقيقي
- تختلف هذه الخاصية عن خاصية التوزيع في أن التوزيع يتم بين المتجهات فقط، بينما يتم توزيع المتجه على كل ما هو داخل الأقواس.
- في حال استخدام خاصية الضرب عددٍ حقيقي، يتم توزيع العدد على متجه واحد فقط.
- سنقوم بشرح ما سبق في المثال القادم: يتم تطبيق توزيع العدد 5 على متجه واحد فقط، ويكون الناتج 5س × ص أو س × 5ص.
الضرب في المتجه الصفري
- في هذه الخاصية، إذا تم ضرب المتجه بالصفر في أي من المتجهين، فسيكون الناتج صفرًا في جميع الأحوال.
- من خلال المثال الآتي سنتعرف على توضيح ما سبق: إذا كان المتجه س = (0،0) والمتجه ص = (4،7)
- باستخدام قانون الضرب الداخلي، يتم حساب الناتج بالتالي س=0+0 و ص=0+0.
- إذا تم ضرب المتجه الصفري في أي متجه آخر سيكون الناتج هو الصفر.
العلاقة بين الضرب الداخلي وطول المتجه
- هذه الخاصية تربط بين الضرب الداخلي وطول المتجهة.
- يشير إلى أن ضرب المتجه (س) في نفسه ينتج عنه تربيع طول المتجه.
- ويوضح ما سبق من خلال تطبيق هذا القانون : س×س= |س|².
- نفرض أن س=5 إذن 5×5=|5|²=25.
- إذن طول المتجه يساوي 25√=5.
من خلال هذا المحتوى، تعرفنا على كيفية عمل بحث عن الضرب الداخلي في الرياضيات، حيث يتم ضرب متجهين ببعضهما، وتم تناول خصائص الضرب الداخلي مثل الإبدال والتوزيع والضرب في عدد حقيقي والضرب في المتجه الصفري، وكذلك تطبيق قانون الضرب الداخلي لحساب طول المتجه.
يمكنك المتابعة والإطلاع على المزيد فيما يختص بهذا من خلال موقع الموسوعة العربية الشاملة:
