بحث رياضيات عن المصفوفات أنواعها .. بحث عن المصفوفات شامل
نقدم لكم في هذا المقال من موسوعتنا بحثًا في مجال الرياضيات حول المصفوفات التي تستخدم في العديد من المجالات الهامة التي نستخدمها في حياتنا اليومية، وتعتمد عليها معظم النظم الاقتصادية في جميع أنحاء العالم، وتتميز بالعديد من الخصائص والنظريات الرياضية التي تفسر وجودها وكيفية عملها واستخدامها. يتضمن هذا البحث شرحًا شاملاً للمصفوفات وخصائصها وأنواعها واستخداماتها.
بحث رياضيات عن المصفوفات أنواعها واستخداماتها وتعريفها
- المصفوفة هي مجموعة مستطيلة من الأرقام، أو الرموز الرياضية الأخرى، ويتم فيها تحديد العمليات الرياضية، مثل الجمع والضرب.
- في الغالب، تكون مصفوفة الرمز س عبارة عن مجموعة مستطيلات من المقاييس، ويكون لكل منها عضو في س، وتتكون عناصر المصفوفة من أرقام حقيقية أو معقدة.
تسمى الأرقام أو الرموز أو التعبيرات في المصفوفة بالإدخالات أو العناصر، وتُسمى الخطوط الأفقية والخطوط العمودية الموجودة في المصفوفة بالصفوف والأعمدة على التوالي.
تقدير حجم المصفوفات
- يتم تحديد حجم المصفوفات وفقًا لعدد أعمدتها وصفوفها، ويرمز للمصفوفة باستخدام هذا الرمز (م ن)، بينما يتم تمثيل أعمدة المصفوفة باستخدام الرمز (وم × ن) أو (م ن- بواسطة)، ويتم استخدام الرمز (م و ن) لتمثيل أبعاد المصفوفة.
- يشير مصطلح نواقل التالي إلى المصفوفة التي تحتوي على صف واحد فقط، أما مصطلح نواقل العود فيشير إلى المصفوفة التي تحتوي على عمود واحد فقط، ويشير مصطلح المصفوفة المربعة إلى المصفوفة التي يكون عدد صفوفها وأعمدتها متساويًا ويكون العدد واحدًا.
- المصفوفة اللانهائية هي تلك التي لا تحتوي على عدد محدد من الصفوف والأعمدة، أما المصفوفة الفارغة فهي التي لا تحتوي على أي صفوف أو أعمدة.
العمليات الرياضية للمصفوفات
- تتم العمليات الرياضية داخل مصفوفة واحدة أو بين مصفوفتين دائمًا.
-
يمكن تطبيق عدد من العمليات الأساسية لتعديل المصفوفات، ومنها مصفوفة الجمع ومصفوفة الضرب العددية ومصفوفة التبديل وضرب المصفوفة ومصفوفة عمليات الصف، كما يمكن إجراء العمليات الأساسية التالية على المصفوفات:
ضرب المصفوفات
-
يتم تعريف ضرب اثنين من المصفوفات عندما يكون عدد أعمدة المصفوفة الأولى مساو لعدد صفوف المصفوفة الثانية.
في حالة كانت الصفة س بمثابة مصفوفة أ×ب وكانت الصفة ص بمثابة مصفوفة ب×ج، فإن ناتج ضرب المصفوفتين (س ص) هو المصفوفة أ×ج التي يتم تقديم إدخالاتها بواسطة المنتج النقطي للصف المقابل في س والعمود المقابل في ص.
- وبناء على ذلك، يجب أن تكون مصفوفتان متساويتي الحجم للقيام بعملية الضرب بينهما، وهذا يعني أن كل مصفوفة يجب أن تحتوي على نفس عدد الصفوف والأعمدة الموجودة في الأخرى.
- يمكن إضافة مصفوفتين أو طرحهما من العناصر، ومع ذلك، فإن قاعدة ضرب المصفوفات تنص على أنه لا يمكن ضرب مصفوفتين إلا إذا كان عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى يساوي عدد الصفوف في المصفوفة الثانية، أي أن الأبعاد الداخلية هي نفسها. وبالنسبة لـ (أ × ب) – المصفوفة (ب × ج) – المصفوفة، فإن هذا يؤدي إلى (أ × ج) – المصفوفة، ولا يوجد منتج في الاتجاه الآخر. كما يشير هذا إلى أن تكاثر المصفوفات غير تبادلي، ويمكن تضاعف أي مصفوفة بواسطة القيمة العددية للصف أو العمود المقابل له في عملية الضرب.
- جمع وطرح المصفوفات
- يشترط في هذين العمليتين تساوي المصفوفات من حيث الحجم، أي أن المصفوفتين يجب أن تحتويا على نفس عدد الصفوف والأعمدة.
- إذا كانت المصفوفة الأولى مكونة من 4 صفوف و 6 أعمدة، فإن المصفوفة الثانية يجب أن تحتوي على نفس عدد الصفوف والأعمدة لكي يتمكن المستخدم من جمعها مع المصفوفة الأولى، ولا يمكن جمعها مع مصفوفة أخرى تختلف في عدد الصفوف والأعمدة.
- تتم عمليتا الجمع والطرح بين المصفوفتين عن طريق جمع العناصر المتطابقة في المواضع المتناظرة.
- عمليات الصف
هناك ثلاثة أنواع من عمليات الصف:
- إضافة صف يعني إضافة صف جديد إلى الصف الأخير.
- يتم ضرب الصف عن طريق عامل ثابت غير صفري يطبق على جميع إدخالات الصف.
- يتم تبديل المكان بين صفين في المصفوفة.
يتم استخدام هذه العمليات بطرق مختلفة، بما في ذلك حل المعادلات الخطية والعثور على المصفوفات العكسية.
محدد المصفوفات الرياضية
- للوصول إلى حلول بعض المصفوفات الرياضية، وضع العلماء محددًا لتلك المصفوفات، والذي يستخدم في العديد من التطبيقات في مجال الرياضيات، مثل إيجاد معكوس المصفوفة وحل نظام المعادلات الخطية وغيرها.
- يتميز محدد المصفوفات الرياضية بأنه عدد حقيقي، وإذا كانت المصفوفة مربعة فلا يمكن تحديد المحدد، وإذا كانت المصفوفة غير مساوية للصفر فلا يمكن العثور على المصفوفة المعكوسة لها فقط.
- هذا يؤدي إلى عدم القدرة على استخدام تلك المصفوفة للتعبير عن المتغير بنفس الرمز المستخدم لتمثيل قيم المصفوفة الأساسية.
على سبيل المثال، إذا كانت المصفوفة تحتوي على 3 صفوف و 3 أعمدة، أي أن أبعادها 3×3، فيمكن استخدام معادلة محدد المصفوفة لحساب قيمتها، وتتمثل تلك المعادلة في (القيمة العليا في اليمين × القيمة السفلى في اليسار) – (القيمة العليا في اليسار × القيمة السفلى في اليمين).
معكوس المصفوفات الرياضية
تعرف المصفوفة العكسية في الرياضيات باسم المصفوفة التي تنتج مصفوفة الوحدة عن ضربها بالمصفوفة الأصلية.
تتألف مصفوفة الوحدة من عناصر رقم 1 فقط في قطرها، بينما تتألف بقية عناصرها من الأصفار، ويمكن إيجاد مصفوفتها المعكوسة بناءً على أبعادها المختلفة.
المعادلات الخطية
يمكن استخدام المعادلات الخطية ونظام المعادلات الخطية في العمل مع المصفوفات، للكتابة واستخدام معادلات خطية متعددة، مثل أنظمة المعادلات الخطية؛ على سبيل المثال: إذا كانت س تمثل مصفوفة (أ× ب) حيث يتم تحديد متجه عمودي (ب× 1) للمتغيرات الـ x1 و x2 و x و h، وإذا كان (س-× 1) الناقل العمودي، فإن هذا يعادل معادلة المصفوفة.
أنواع المصفوفات
مصفوفة قطرية وثلاثية
على سبيل المثال، إذا كانت جميع الإدخالات في الصف السفلي من القطر الرئيسي تساوي الصفر، فإن المصفوفة تسمى المصفوفة المثلثة العليا، وبالمثل، إذا كانت جميع الإدخالات في الصف العلوي من القطر الرئيسي تساوي الصفر، فإن المصفوفة تسمى المصفوفة المثلثة السفلية، وإذا كانت جميع الإدخالات خارج القطر الرئيسي تساوي الصفر، فإن المصفوفة تسمى المصفوفة القطرية.
المصفوفة القياسية
هي مصفوفة قطرية تتألف من عناصر متساوية وتقع على خط يربط بين الطرف العلوي الأيمن والطرف السفلي الأيسر.
مصفوفة الهوية
تحتوي مصفوفة الهوية في الحجم ب على جميع العناصر في القطر الرئيسي تساوي 1، وجميع العناصر الأخرى تساوي صفر، ويكون حجم المصفوفة ب×ب
مصفوفة الوحدة
هي مصفوفة مربعة وقطرية تحتوي على عدد متساوٍ من الأعمدة والصفوف، ويمكن أن تحتوي على أي عدد من الأعمدة والصفوف، أما قطرها فهي تتكون من الرقم 1 فقط، وعند ضرب مصفوفة الوحدة في مصفوفة أخرى فإنها تنتج المصفوفة الأخرى ذاتها.
مصفوفة التماثل
- إذا كانت المصفوفة المربعة المتناظرة، أو المتماثلة، س تساوي نقلها، أي ست = س، فإنها تُعتبر مصفوفة متناظرة، وإذا كان الرقم المستخدم بدلاً من ذلك هو رقم سلبي، فإنه يتم نقله؛ أي A = -τس، ثم يعتبر س مصفوفة متناظرةً في التحويل.
- في المصفوفات المعقدة، يتم استخدام مفهوم المصفوفات الهرمية بدلاً من التماثل في كثير من الأحيان، والذي يفيد بأن ∗س = س، حيث تشير النجمة إلى التحويل المتزامن للمصفوفة، أي تبديل المرافقة المعقدة لـ س.
- باستخدام النظرية الطيفية، تتميز المصفوفات المتماثلة الحقيقية والمصفوفات الهرمية المعقدة بمتلازمة القاعدة الخاصة، وهذا يعني أن كل ناقل يمكن تعبيره عن مزيج خطي من المتجهات الذاتية، وفي كلا الحالتين، تكون جميع القيم الذاتية حقيقية، ويمكن تعميم هذه النظرية على حالات غير محدودة من المصفوفات التي تحتوي على عدد لا نهائي من الصفوف والأعمدة.
- إذا كانت المصفوفة المتماثلة لها قيم موجبة، وجميع القيم الذاتية موجبة، فهذا يعني أن المصفوفة موجبة وشبه منتهية وقابلة للانعكاس.
المصفوفة المقلوبة
تسمى المصفوفة المقلوبة أو المعكوسة أيضًا المصفوفة المربعة س مُعكوسة، أو غير مفردة إذا كانت هناك مصفوفة ص من نفس النوع، حيث ص س = س ص = بي، وحيث بي هي المصفوفة الهوية (ب × ب) على القطر الرئيسي في مكان آخر، وإذا كانت المصفوفة ص موجودة، فهي فريدة من نوعها وتسمى المصفوفة العكسية لـ س والتي يتم الإشارة إليها بس-1.
المصفوفة المتعامدة
المصفوفة المتعامدة هي مصفوفة مربعة ذات إدخالات حقيقية، حيث تكون أعمدتها متجهات وحدة متعامدة، أي متجهات تتقاطع بزاوية 90 درجة، وبالمثل، تكون المصفوفة س متعامدة إذا كان تبديلها مساويًا لعكسها.
استخدامات المصفوفات
- تم العثور على تطبيقات المصفوفات في معظم المجالات العلمية، مثل:
- تستخدم الفيزياء في كل فرع من فروعها، بما في ذلك الميكانيكا الكلاسيكية والبصريات والكهرومغناطيسية، والميكانيكا الكم والديناميكا الكهربائية الكمية، كما يتم استخدامها لدراسة الظواهر الفيزيائية، مثل حركة الأجسام الصلبة.
- تُستخدم في رسومات الكمبيوتر، ويتم استخدامها لمعالجة النماذج ثلاثية الأبعاد وعرضها على شاشة ثنائية الأبعاد.
- في نظرية الاحتمالات والإحصاء، وكذلك في استخدام مصفوفات عشوائية، يتم وصف مجموعات من الاحتمالات. على سبيل المثال، يتم استخدامها في خوارزمية تصنيف صفحات الويب، التي تصنف صفحات البحث في Google.
- يعمم حساب التفاضل والتكامل المصفوفي المفاهيم التحليلية الكلاسيكية، مثل المشتقات والأسس، إلى بعد أعلى الأبعاد.
- استخدام المصفوفات في الاقتصاد لوصف أنظمة العلاقات الاقتصادية.
- يهدف فرع التحليل العددي الرئيسي إلى تطوير خوارزميات فعالة لحساب المصفوفات، وهو موضوع قديم يعود إلى قرون مضت ويمثل اليوم مجالًا واسعًا للبحث.
- تهدف طرق تحليل المصفوفة إلى تبسيط الحسابات من الناحية النظرية والعملية.
- يتم تصميم الخوارزميات وفقًا لهياكل مصفوفة محددة، مثل المصفوفات المتناثرة والمصفوفات القريبة من القطر.
- تسريع العمليات الحسابية في طريقة العناصر المحددة وغيرها من العمليات الحسابية.
- تُستخدم المصفوفات اللانهائية في نظرية الكواكب والنظرية الذرية كمثال، ويُمكن استخدام المصفوفة اللانهائية التي تُمثِّل عامل المشتق، والذي يعمل على سلسلة تايلور للدالة.
وبهذا نصل إلى نهاية مقالتنا اليوم التي تناولت موضوع المصفوفات في الرياضيات، حيث قدّمنا تعريفًا للمصفوفات وشرحًا لكيفية حساب مقاسها والعمليات الرياضية المختلفة الممكن تنفيذها عليها، وأيضًا الأنواع المختلفة للمصفوفات وأهم استخداماتها.
للحصول على مزيد من المعلومات، يمكنك البحث عن المصفوفات.
المراجع
