كيف احسب قيمة باي

كيف احسب قيمة باي

من المعروف أن الأبجدية اليونانية هي الأبجدية المستخدمة في التعبير عن المفاهيم العلمية، ولذلك تم استخدام الرمز “π” للإشارة إلى الثابت الرياضي “باي”، حيث يمثل هذا الرمز الحرف السادس عشر في الأبجدية اليونانية، ويعبر عن نسبة قطر الدائرة إلى محيطها، وتقدر بـ3.14، والتي لا تختلف باختلاف حجم أو قطر الدائرة، إذ تبقى ثابتة في كل الدوائر، الكبيرة والصغيرة، كما أن قيمة “باي” تبقى ثابتة عند قسمة محيط الدائرة على قطرها.

كيف احسب قيمة باي

يمكن التعبير عن قيمة “باي” باستخدام طريقة من الطريقتين التاليين:

التعبير عن”باي” في نظام الكسور

بسبب عدم إمكانية تساوي قيمة العدد “π” لرقمين، أي عدم قدرتها على التعبير عن نسبة، ولأنها عدد غير منطقي، يتم استخدام تقريب “باي” بنسبة 22/7 في الحسابات اليومية، وهو أسهل تعبيرا

التعبير عن “باي” في النظام العشري

تُعبر قيمة باي في النظام العشري بـ 3.14159، ويجب التنبيه على أن الأرقام التي تأتي بعد القيمة العشرية لا تنتهي.

ما هي قيمة “باي”

استخدمت الحضارة القديمة قيمة “باي” بعد اكتشافها العلاقة الموجودة بين محيط الدائرة وقطرها، فقد أدركوا أن القطر هو الخط المستقيم الطويل الذي يمر من خلال الدائرة، واستنتجوا أن قيمة “باي” تعني عدد مرات تطوي القطر حول المحيط؛ وتقدر بـ3.14 مرة.

قيمة الباي في الدوال المثلثية

لا يختلف قيمة “باي” في الدوال المثلثية عن غيرها من القيم، حيث يمكن تقريبها إلى 3.14، كما يمكن تعبير عنها على شكل كسر “22/7.

قيمة باي بالراديان

يجب أن نعرف أولاً قبل حساب قيمة باي بالراديان، أن قيمة 2 π بالراديان تساوي 360 درجة، لذلك إذا أردنا حساب قيمة باي بالراديان، فيمكننا قسمة الطرفين على الاثنين، وبذلك نجد أن قيمة باي بالراديان تساوي 180 درجة.

حساب قيمة “باي” باستخدام المتسلسلات الغير منتهية

مع التطور المستمر في العلوم، وخاصة في مجال الرياضيات، اكتشف العلماء العديد من الطرق التي يمكن استخدامها لحساب ثابت “باي” بطريقة أكثر دقة، من بينها الاستخدام المتسلسلات المختلفة مثل متسلسلة غريغوري لايبنيز ومتسلسلة نيلاكانثا، وسنتعرف في الفقرات التالية على الطريقة الصحيحة لاستخدام هذه المتسلسلات:

متسلسلة نيلاكانثا

يتم استخدام هذا المتسلسلة للوصول إلى ثابت “باي” بطريقة أسرع وأدق، يتم ذلك من خلال استخدام المعادلة التالية: ‘π = ٣ + (٢٣٤)/٤ – (٤٥٦)/٤ + (٦٧٨)/٤ – (٨٩١٠)/٤ + (١٠١١١٢)/٤ – (١٢١٣١٤)/٤، والتي تتم من خلال وضع الرقم 3 ومن ثم البدء في التناوب بين طرح وجمع الكسور التي مقامتها مكونة من ثلاثة أرقام، وبسطها الرقم 4، مع العلم أن الرقم الموجود في المقام لكل كسر لاحق، لابد وأن يبدأ بأكبر الأرقام الموجودة في الكسر التالي له.

يجب التنبيه على أنه يتعين تكرار هذه العملية أكثر من مرة حتى يتم الحصول على أعلى درجات الدقة (القيمة الأكثر دقة باي).

متسلسلة غريغوري لايبنيز

على الرغم من أن المتسلسلة السابقة كانت أكثر دقة وسرعة من تل المتسلسلة، فإن ذلك لا ينفي أن تل المتسلسلة لا تزال من المتسلسلات المفيدة للحصول على أقرب قيمة “باي”، ويتم ذلك باستخدام المعادلة الآتية:

(٤/١) – (٤/٣) + (٤/٥) – (٤/٧) + (٤/٩) – (٤/١١) + (٤/١٣) – (٤/١٥) = π

يتم تكرار هذه العملية مرات عديدة، وقد تصل إلى 500 مرة للحصول على أقرب قيمة للعدد باي.

استخدام المضلعات لتقريب قيمة “باي”

اكتشف العالم الكبير أرخميدس هذه الطريقة، والتي تمكن من تقريب قيمة باي بدقة، من خلال الطريقة التالية:

• رسم شكل سداسي منتظم داخل الدائرة.
• ارسم شكل سداسي عادي آخر خارج الدائرة.
• حساب المساحة الدقيقة لجميع الأقطار والمحيطات لجميع الأشكال السداسية.
• ومن ثم قسمة المحيط على القطر.

قام العالم أرخميدس باستخدام تجربة مضاعفة عدد زوايا السداسيات، حيث استخدم مضلعات ذات أعداد أضلاع أكبر، وقد استمر في هذه النظرية حتى استخدم 96 زاوية، وبعد عدة تجارب، توصل أخيرًا إلى أقرب تقريب لقيمة “باي” وهي :frac {223} {71} و frac {22} {7}

مقاييس زاوية نصف قطرية وقوة باي

أكد العلماء وجود مقياس أدق لقياس الزوايا في الفيزياء والرياضيات وهو مقياس الراديان، لذلك يعتمد كثيرون عليه في قياس الزوايا بدلاً من مقياس الدرجة الذي يعتبر أقل دقة.

صيغ أخرى لحساب قيمة “باي”

تحتوي العديد من القوانين الرياضية على القيمة “باي” التي يمكن أن تساعدنا في حساب قيمة “باي”، وتتمثل هذه القيمة في ما يلي:

• حجم الكرة: 4 / 3πr3.
• محيط الدائرة: 2πr.
• مساحة نص الكرة: 4πr2.
• مساحة الدائرة: πr2.

يجب الإشارة إلى أن “R” هو نصف قطر المجال أو الدائرة.

أسئلة شائعة