شرح تعريف المخروط
سنتعرف اليوم معًا على تعريف المخروط، وهو أحد أهم المجسمات في علم الهندسة، وسنعرض سويا قوانين حساب حجمه ومساحته، بالإضافة إلى العديد من الأمثلة التي توضح خطوات حل المسائل المختلفة بشكل سهل وواضح، كل ذلك متاح هنا في هذه الموسوعة .
تعريف المخروط (Cone) :
يعتبر المخروط شكلا هندسيا ثلاثي الأبعاد، حيث يتم تشكيله بتوصيل كل نقطة في المنحنى المغلق الذي يشكل شكل دائرة بنقاط أخرى لا تنتمي له، وتسمى هذه النقطة الرأس. يتم توصيل الرأس بالقاعدة الدائرية بمجموعة من الخطوط المستقيمة، وتسمى الخطوط المستقيمة التي تصل الرأس بالقاعدة بـ “الخط الواصل بالرأسم.” إذا قمنا بتدوير مثلث قائم الزاوية دورة كاملة على أحد ضلعي الزاوية المستقيمة، سيتم تشكيل المخروط كشكل هندسي ثلاثي الأبعاد.
يُعد ارتفاع المخروط هو العمود الذي يمتد من قاعدته إلى رأسه، ويشار إليه أيضًا باسم طول المخروط، وهو واحد من الأبعاد الرئيسية للمخروط، ويتم تحديد مركز الثقل للمخروط عند ربع المسافة بدءًا من مركز الثقل للقاعدة وصولًا إلى القمة .
المخروط القائم :
المخروط الذي يحتوي على عمود ينحدر من رأس الهرم إلى القاعدة يسمى المخروط القائم، ويمر المحور الرئيسي للدائرة المحيطة بالمخروط عبر مركزها، وإذا كانت جميع الأضلاع لهذه الدائرة بطول متساوٍ، فإنها تسمى المخروط الدائري القائم، ولكن إذا لم يمر المحور الرئيسي عبر مركز الدائرة، فإن المخروط يكون غير قائم ويميل إلى جانب .
القطع المخروطي :
إذا كان لدينا مخروط دائري مستقيم، وتم قطعه عن طريق مستوٍ يوازي القاعدة دون تضمين الرأس، فإن الشكل الذي يتم الحصول عليه يسمى قطع مخروطي .
قانون حساب مساحة المخروط :
نستطيع حساب المساحة للمخروط باستخدام قانون : مساحة المخروط تساوي مجموع مساحة السطح الجانبي للمخروط ومساحة الدائرة
ويتم حساب مساحة المخروط بالتالي: (ط × نق × ل) + ( ط × نق²)
حيث أن :
( نق ) تعبر عن طول نصف القطر .
( ل ) هو طول الراسم .
معدل الدائرة (ط) هو نسبة محيط الدائرة إلى قطرها، وهي قيمة ثابتة يُمثلها الكسر 22/7 أو العدد 3.14 .
الرمز (نق²) يعبر عن طول القطر في الدائرة .
أمثلة لحساب مساحة المخروط :
مثال 1 :
حساب مساحة المخروط يتطلب معرفة قطره الذي يبلغ 10 سم، وارتفاعه الذي يبلغ 4 سم، وطول الراسم الذي يبلغ 6 سم
الحل :
مع العلم بأن نق٢ = 10 سم، ل = 6 سم، نق = 5 سم، وط = 3.14
- أولاً، يتم كتابة صياغة قانون حساب مساحة المخروط = (ط × نق × ل) + (ط × نق²) .
- ثمة خطوات تتم في القانون، حيث يتم التعويض باستخدام البيانات وحساب ناج حاصل الضرب، ثم إضافة النتائج معا للحصول على مساحة المخروط، ويكون الحساب كالتالي: مساحة المخروط = (3.14 × 5 × 6) + (3.14 × 25) = 125.6 سم² .
مثال 2 :
في حالة افتراض طول قطر القاعدة للمخروط بأنه 14 سم، وارتفاعه هو 6 سم وطول راسمه 8 سم، فيمكن حساب مساحة المخروط باستخدام هذه المعطيات .
الحل :
- أولا نكتب قانون حساب حجم المخروط كالتالي : المساحة الجانبية للمخروط + مساحة الدائرة .
- و بما أن الامعطيات هي : يبلغ قطر الدائرة الكبيرة 14 سم، ويبلغ قطر الدائرة الصغيرة 7 سم، ويبلغ طول القطعة الطويلة 8 سم، وقيمة الثابت ط تساوي 22/7 .
- نقوم بالتعويض بالمطيات في قانون الحجم كما يلي : مساحة المخروط = (3.14 × 7 × 8) + (3.14 × 49) = 329.7 سم² .
قانون حساب حجم المخروط :
حجم المخروط= (ط × ع × نق²) ÷ 3
حيث أن :
معدل الدائرة (ط) هو نسبة محيط الدائرة إلى قطرها، وهي قيمة ثابتة يُمثلها الكسر 22/7 أو العدد 3.14 .
التعبير (ع) يشير إلى ارتفاع المخروط .
الرمز (نق²) يرمز إلى نصف قطر الدائرة .
أمثلة لحساب حجم المخروط :
مثال 1 :
يتم حساب حجم المخروط الذي يبلغ طول نصف قاعدته 5 سم وارتفاعه 4 سم باستخدام القيمة الثابتة ط=22 ÷ 7
الحل :
من خلال استخدام قانون حجم المخروط و تعويض المعطيات، يتم حساب الناتج باستخدام الضرب :
حجم المخروط = (3.14 × 4 × 5²) ÷ 3
إذا حجم المخروط = 314 ÷ 3
حجم المخروط= 104.667 سم3 .
