شرح الأعداد المركبة

يقوم المتخصصون في الرياضيات والعلوم الطبيعية والإنسانية عادةً بتصنيف الأعداد إلى مجموعات متداخلة، ومن هذه المجموعات مثلاً: مجموعة الأعداد الطبيعية، والأعداد النسبية، والأعداد المركبة، وغيرها من الأعداد. وفي مقالنا اليوم، سنتحدث عن الأعداد المركبة، التي تلعب دوراً هاماً وتحظى بمكانة كبيرة في الرياضيات، بسبب دورها الكبير والفعال في مجال التطبيقات العلمية المختلفة. وتعد الأعداد المركبة من أصعب مجموعات الأعداد في الفهم، وذلك بسبب احتوائها على مجموعة من الأعداد التخيلية، مما يزيد من صعوبة فهمها. ويعود سبب أهمية الأعداد المركبة إلى دخولها في العديد من التطبيقات الحياتية المختلفة، مثل الكهرباء والفيزياء والديناميكا، وغيرها من العلوم .

قد يتسائل بعض الناس عن وجود الأعداد المركبة في الطبيعة ومكان وجود الأعداد الطبيعية في الواقع، وهذه جميعها أسئلة تدور في أذهاننا. ومن يطرح هذه الأسئلة يخلط بين وجود الأعداد الطبيعية في الواقع وبين العلوم الطبيعية والإنسانية والرياضيات. فنجد أن العلوم الطبيعية والإنسانية مرتبطة بالواقع وتكون خاطئة إذا خالفت الواقع، مثل الفيزياء والكيمياء والبيولوجيا، وكلها تعتمد على الواقع المحيط بنا. كما يوجد ارتباط للعلوم الإنسانية مثل الجغرافيا والتاريخ وعلم النفس والاجتماع بالحقيقة والواقع الملموس الذي نعيشه. ومع ذلك، فإن الرياضيات مرتبطة بكل ما يستطيع العقل أن يتخيله فقط، ومن الممكن أن يكون شيء موجودًا أو غير موجود فيها. وتُعد الأعداد المركبة ببساطة ما يمكن للعقل البشري أن يتخيله، ولذلك فإن وجود الأعداد المركبة يصبح أمرًا ضروريًا .

تعريف الأعداد المركبة

الأعداد المركبة هي الأعداد التي يتم تمثيلها على شكل (a+bi)، حيث يكون a و b أعدادا حقيقية و i عددا خياليا يساوي الجذر التربيعي للعدد 1

ويقسم العدد المركب إلى جزأين : يتكون العدد المركب من جزء حقيقي مثل (أ) وجزء وهمي مثل (ب)، ويمكن تفسير ذلك بأن كل عدد حقيقي هو عدد مركب ولا يساوي الجزء الوهمي منه الصفر، وفي هذه الحالة يمكننا أن نعتبر العدد المركب عددًا حقيقيًا بالكامل، أما إذا كان الجزء الحقيقي من العدد يساوي الصفر فإننا نسميه عددًا وهميًا بالكامل، ويمكن تمثيل مجموعة الأعداد المركبة بالرمز (C).

خصائص الأعداد المركبة:

• لكل عدد مركب عددٌ مرافق له، ولذلك فإن مرافق العدد المركب هو عددٌ مركب له نفس الجزء الحقيقي للعدد الأصلي، ولكن الجزء الوهمي له قد يتطابق مع الجزء الوهمي للعدد الأصلي في القيمة ولكنه يختلف في الإشارة .
• مثال ذلك /3+2i=x     العدد الأصلي
  • /3-2i=x العدد المرافق
• يمكننا استخدام الأعداد المركبة لإجراء العديد من العمليات الحسابية مثل الجمع والطرح وكذلك القسمة والضرب، كما يمكن العثور على معكوس لكل عدد مركب .
• يمكن كتابة الأعداد المركبة باستخدام العديد من الصيغ، مثل الصيغة الثنائية أو الصيغة الأسية .

أهمية الأعداد المركبة:

تحمل الأعداد المركبة أهمية كبيرة في حياتنا اليومية، حيث تساعدنا بشكل كبير في القيام بالعمليات الحسابية وتوفر نظامًا لإيجاد حلول لمعادلات رياضية، وقد تكون بعض هذه المعادلات ليس لها حلول في مجموعة الأعداد الحقيقية، كما هو الحال في معادلة 2 = -9(c+1)، ولذلك فإن الأعداد المركبة تستخدم في العديد من التطبيقات التي نستخدمها في الحياة اليومية، وتدخل في مجال الهندسة الكهربائية وحساب قيم الجهد الكهربي وقياس التيار الكهربائي المتردد، وتختلف هذه الأعداد عن تلك الموجودة في الدوائر الكهربائية ذات التيار الثابت، ويتم استخدام الأرقام المركبة أيضًا للتعبير عن الحركة المتغيرة والمتعددة الأبعاد وحساب القيم في الدوائر الكهربائية ذات التيار المتردد .

لا يقتصر استخدام الأعداد المركبة على المجالات الرياضية فقط، بل تستخدم أيضا في معالجة الإشارات. ولذلك، نجد أن لها دور فعال في مجال تكنولوجيا الهاتف والاتصال اللاسلكي وغيرها من الاستخدامات المختلفة لها، وذلك لأن الأعداد المركبة تمنح حلا للكثير من أنواع المعادلات التي لا تقبل أي حلول، وخاصة في مجموعة الأعداد الحقيقية .

تمثيل الأعداد المركبة :

في حال كان X عددًا مركبًا و a و b عددين حقيقيين، فإن التمثيل الجبري للعدد المركب يكون كما يلي، حيث i هو العدد التخيلي

a+bi=x.