بحث عن المتجهات في المستوى الإحداثي كامل مع المراجع
مقدمة بحث عن المتجهات في المستوى الإحداثي
يُعد بحث المتجهات في المستوى الإحداثي واحدًا من الدروس الأساسية في الرياضيات البحتة والفيزياء، حيث يُشار إلى المتجه الهندسي أو المكانين بأنه أي شكل هندسي له طول محدد ويتحرك في اتجاه معين، ويمكن التأثير عليه بواسطة الناقلات، ويتأثر في معظم الأوقات بالناقل الأقليدي عن طريق تقاطع خطي ذو اتجاه واحد، ويتم تمثيله بشكل سهم، ويشار إلى نقطتيه بالرموز A و B في هذا المقال.
تتمثل أهمية المتجهات في عملية الملاحة في تحديد السرعة الفعلية للطائرة مقارنةً بالأرض، وذلك بقياس السرعات المركبة للرياح التي تحمل الطائرة مثلما تحمل الطائرة في حالة الطيران في الهواء الطلق، إلى جانب قياس السرعة اللازمة للطائرة للطيران في الهواء في حالة عدم وجود رياح، ولذلك فإن الاهتمام بالمتجهات في المستوى الإحداثي هو من الأمور الهامة والتي سيتم توضيحها بشكلٍ أكبر فيما يلي.
بحث عن المتجهات في المستوى الإحداثي وتعريفه
المتجه هو الوسيلة التي تنقل النقطة A إلى النقطة B في العمليات الرياضية والفيزيائية والهندسية.
- ظهر مصطلح المتجه لأول مرة على يد علماء الفلك الذين كانوا يرصدون حركة الكواكب حول الشمس في القرن الثامن عشر.
- في ذلك الوقت، تعرفوا على أن المتجه هو المسافة بين نقطتين واتجاه النزوح من النقطة الأولى A إلى النقطة الطرفية B .
- تحتاج حلول هذه المشكلات في الجبر الرياضي إلى العديد من العمليات الحسابية مع الأرقام الحقيقية، وتتضمن هذه العمليات الجمع والطرح والضرب، ويتم استخدام قوانين جبرية ثابتة مثل التبادلية والألفية والتوزيع.
- كُلُّ هذه العمليات تُعَدُّ نواقل إقليدية، وهي عناصر مساحة ناقلة تنقل الإشارات في الجهاز العصبي.
- يستخدم المتجهات والنواقل المتولدة عنها في مجال الفيزياء لقياس سرعة الجسم المتحرك والتنبؤ بزيادة السرعة.
- كل ما يؤثر على سرعة الحركة هي النواقل التي تنتج عن المتجهات، وكل القوى التي لها تأثير على المتجهات هي نواقل مثل الموقع والإزاحة، ويمكن تحديد حجم واتجاه تلك النواقل من خلال طول واتجاه السهم المتجه .
- تستخدم الإحداثيات في الواقع لوصف المتجهات للأجسام، ويقوم نظام الإحداثيات بتحويل هذه المتجهات إلى كميات فيزيائية يمكن تحويلها بطريقة مماثلة إلى أنظمة إحداثيات مختلفة.
الكميات الفيزيائية
تعني الكمية العددية الكمية التي يتم وصفها بالكامل باستخدام الحجم فقط، حيث يتم تحديدها برقم واحد، وتشمل الأمثلة الشائعة للكميات العددية السرعة والكتلة والحجم ودرجة الحرارة والوقت والطاقة.
- يتم تعريف المتجه على أنه أي كمية تتضمن مقدارًا واتجاهًا، وهي كميات مهمة في دراسة الحركة، وتشمل بعض الأمثلة الشائعة مثل السرعة والقوة والإزاحة والتسارع.
- فيما يتعلق بكمية المتجه، لها اتجاه وحجم، وعلى الرغم من أن الرقمية لها حجم فقط، يمكنك معرفة ما إذا كانت الكمية التي تواجهك هي ناقل أم لا، وذلك في حال كان لها اتجاه محدد أو لا.
- واحدة من الأمثلة الشائعة هي السرعة، وهي كمية عددية، ولكن في الواقع، يتم تعريف السرعة على أنها ناقل يحدد الاتجاه والحجم. فالسرعة يتم تحديدها كحجم السرعة بذاتها، وعلى سبيل المثال، إذا كانت سرعة السيارة 40 كيلو متر في الساعة، فإن معدل السرعة الخاص بها هو 40 كيلو متر في الساعة.
نظرة تاريخية عن المتجهات في المستوى الاحداثي
عندما قام العلماء بأكثر من 200 عامًا من البحث عن المتجهات في المستوى الإحداثي واكتشافها، لم تكن في الصورة التي نعرفها الآن.
- لم يكن هناك تطوير لجوستو بيلاتيس على مدار السنوات، بل عمل العديد من العلماء على تطويرها وأدخلوا مساهماتهم الكبيرة في ذلك، وكان أول هؤلاء العلماء هو جوستو بيلاتيس.
- في عام 1835، قام المفكر جيمس كليرك ماكسويل بتأسيس مصطلح المتجه، وليأتي بعده العالم ويليام روان هاميلتون بوضع مجموعة من الرموز الثابتة للتعبير عن ذلك المتجه، حيث يشير حرف `s` إلى الناقل ثلاثي الأبعاد.
- الحرف V يشير إلى الجزء الخيالي، وفي القرن التاسع عشر، تمكن عدد من علماء الرياضيات والفيزياء من تطوير المتجهات، ومن بين هؤلاء العلماء: أوغستين كوشي، هيرمان جروسمان ، أغسطس موبيوس ، كونت دي سان-فنانات، وماثيو أوبراين).
- في عام 1840، ازدادت أهمية نظرية الإنحراف للعالم جروسمان، حيث أسهمت في اكتشاف أول نظام تحليلي مكاني شبيهٍ بنظام الإحداثيات الحالي، وكان لجروسمان العديد من الأفكار حول المنتج المتقاطع والمنتج القياسي.
- تم الوصول إلى عناصر ديناميكية للمتجهات في عام 1878 بعد جهود جروسمان، وتبسيط الرموز الرياضية عن طريق عزل منتجات النقطة والتقاطع في الاتجاهين تم بعد ذلك بواسطة العالم كليفورد.
- قام العالم غيبس بنشر كتاب عام 1881 حول تحليل المتجهات باستخدام نظام حديث جداً، ووصلت مسألة المتجهات إلى عام 1901 حيث قام العالم بيدويل ويلسون بتطوير حساب التفاضل والتكامل الذي نعرفه اليوم.
المتجهات الرياضية
يتكون المتجه من السهم الذي ينتقل من نقطة إلى أخرى، ويتألف من المقدار وهو كمية قياسية تعبر عن طول السهم واتجاهه، وتحدد هذه المعلومات عن طريق زوايا أويلر .
- نقطة التأثير هي المكون الثاني والتي يتحرك فيها المتجه الذي لا يعتمد على الإحداثيات النهائية .
- تعتبر القوة الفيزيائية هي أحد أشهر المتجهات في الفيزياء، وتمتلك مقدارًا واتجاهًا محددًا في فضاء ثلاثي الأبعاد ونقطة التأثير، وإذا أراد الشخص تحديد الزوج المرتب للمتجه، عليه أن يبدأ من نقطة الانطلاق.
- في مسائل الرياضيات التي تتعلق بمتجهات الإحداثيات، يتم كتابة أعداد وحدات الحركة بشكل أفقي، ولا يستخدم الفلاق إذا تمت كتابة هذه الأرقام من اليمين أو من اليسار.
- يتمثل الأمر في كتابة أرقام وحدات الحركة بشكل عمودي بغض النظر عن الاتجاه، سواء بدأت من الشرق أو الغرب، ويتم كتابتها في أي اتجاه من أعلى إلى أسفل أو من اليمين إلى اليسار.
- عندما يتم التحرك من نقطة الانطلاق أفقيًا، يصبح العدد الناتج سالبًا، بينما عندما يتم التحرك من نقطة الانطلاق عموديًا، يصبح العدد الناتج موجبًا.
- ومن السابق نستنتج أن الكمية المتجهة تحتوي على حجمها واتجاهها وتسارعها وقوتها ونزوحها، ولكن الكمية العددية لها حجم واحد فقط، ولذلك فإن الاتجاه لا يعتبر عاملاً مهماً في عملية معرفة الكمية المتجهة .
- من الأمثلة على ذلك هي عمليات حساب السرعة أو الوقت أو المسافة، ويجب تلوين الحروف المستخدمة في تمثيل المتجهات بخط داكن اللون، على سبيل المثال عند تمثيل سرعة كائن فيزيائي بخط على الإحداثيات يجب أن يكون لون هذا الخط داكن.
- متجه الوحدة هو أي متجه بحجم واحد، وهناك ثلاثة متجهات معروفة في الاستخدام في العمليات الفيزيائية، وهي المتجهات المحورية z، x، y .
- يتم تمثيل متجه الوحدة في اتجاه المحور السيني بـ i، ويتم تمثيل المتجه المشترك بين محور Y ومحور Z بمتجه الوحدة K.
- تعمل هذه الرموز على تسهيل عملية تحديد النواقل، وخاصة عند إضافة متجهين معًا.
- تم استنتاج الناتج النهائي بإضافة المتجهات من طرف إلى طرف، ولكن إذا تم تحديد المتجهات في نموذج متجه الوحدة، فليس هناك أي حل آخر غير إضافة القيم الأخرى وهي I، K، J.
- وضع فيثاغورس نظرية لها قانون خاص يساعد في الحصول على الناقلات، ويتمثل ذلك في (ai + bj = √ (a2 + b2.
طريقة رسم المتجهات
يتم بدء رسم المتجه بسهم يتميز برأس وذيل يمثلان بداية ونهاية المتجه، ويعبر عن حجم المتجه من خلال طول السهم، ويتم كتابة المتجهات على السهم باستخدام رموز مختلفة الألوان، ويمكن تطبيق هذا الأمر عمليًا كالتالي:
- يوجد لاعب في أرض المعلب يركض باتجاه منطقة النهاية بسرعة 10 أميال في الساعة.
- إذا كانت لدينا إحداثيات تتحرك بسرعة 10 أميال في الساعة، وإذا كانت درجة حرارة الملعب 15 درجة مئوية، فهذا يمثل كمية عددية قد تكون مؤثرة وتعد من الناقلات.
سمات خاصة للمتجهات
تتضمن الميزات المميزة للمتجهات مجموعة من الميزات المختلفة التي تشمل.
- إذا كانت جميع المتجهات لها نفس الحجم والاتجاه، فسوف يؤدي ذلك إذا تم ترجمة أحد هذه المتجهات إلى الحصول على نفس المتجه الأصلي الذي كان موجودًا في الأول.
- أكبر الكميات الفيزيائية في عمليات المتجهات هي قوة وسرعة العمل.
- تتخذ الكميات الفيزيائية مثل القوة والعمل والسرعة والطاقة خصائص الكميات العددية أو الناقلات.
- لا يتجاوز حجم متجهات الوحدة الواحدة 1 وهو حجم ثابت دائمًا.
- المتجهات لا تُحدد إلا في مجال فضائي ثنائي أو ثلاثي الأبعاد فقط.
- لا يتأثر موقع المتجه بحجم أو اتجاه متجه آخر، إلا إذا تم تمديد الموجه من خلال تحريك رأسه.
أهمية المتجهات في الرياضيات
تستخدم المتجهات بشكل كبير في الحياة اليومية ولا يمكن إهمال دورها الهام في النواحي التطبيقية على المستويات العلمية والتطبيقية والحياتية، ومن الأهميات العديد من الأشياء التي تشمل.
- يتم استخدام المتجهات الرياضية في تحديد المواقع في الفضاء في نظام الإحداثيات، وهو نظام ثلاثي الأبعاد مكون من مجموعة لا نهائية من الأرقام الحقيقية غير الخيالية لتحديد إحداثيات النقاط.
- تستخدم المتجهات لوصف حجم واتجاه كائن فيزيائي معين، ويتم تمثيله من خلال سهم مرسوم، ويكون هذا السهم مدببًا ويمثل الحجم الموجه.
- يتم استخدام عملية المتجهات الرياضية لتحديد المعلومات المادية للظواهر الطبيعية مثل الرياح، حيث يتم حساب الكمية المتجهة من موقع محدد مثل الشمال الشرقي، ويتم حساب السرعة والتي يمكن أن تصل إلى 45 كيلومترًا في الساعة.
- تستخدم المتجهات أيضًا لتحديد نتيجة اصطدام كائنين، حيث تعمل المتجهات على إنقاذ الوضع من خلال تغيير الإحداثيات لخلق مستطيل متوازي الأضلاع لتحديد اتجاهين جديدين، كما يحدث في مجال السكك الحديدية والطيران.
تعريف المتجهات
تتعلق المتجهات بالأشياء المطلوبة لنقل النقطة أ إلى النقطة ب، ويجب الإشارة إلى أن علماء الفلك كانوا أول من استخدموا مصطلح المتجهات في القرن الثامن عشر، حيث أوضحوا أن حجم المتجهات يشير إلى المسافة بين نقطتين ويوضح الاتجاه الذي يتم به النقل من النقطة “أ” إلى النقطة.
هناك مفهوم آخر للمتجهات يشمل مساحة الناقلة عدة عناصر، وهذا المفهوم هو أكثر شمولاً من المفهوم السابق، وعلى الرغم من أنه مفيد في العديد من الدراسات العملية، إلا أنه غير كافٍ لقياس القوة الناتجة من المتجهات، ويجب تحديد مقدارها واتجاهها لقياس هذه القوة.
خصائص المتجهات
يتميز المتجهات بالعديد من الخصائص التي تميزها عن الكميات الأخرى، حيث تحتوي الكميات المتجهة على خصائص أكثر شمولية من الكميات القياسية، ويعود السبب في ذلك إلى أن الكميات المتجهة تحتاج إلى مقدار واتجاه لتعبر عنها، ومن بين أهم خصائص الكميات المتجهة:
- جمع المتجهات: يمكن جمع المتجهات معًا عن طريق جمع مركبات المتجهات ببعضها البعض، وذلك عند جمع المركب السيني مع المركب الصادي والعيني. ويمكن استخدام الطريقة الهندسية لجمع المتجهات، حيث يتم تمثيل المتجه الأول ووضع المتجه الثاني على رأس المتجه الأول، ومن ثم رسم ذيل المتجه الأول ورأس المتجه الثاني، وبعد إجراء هذه الخطوات يتم الحصول على ناتج جمع المتجهات.
- تساوي المتجهات: إذا كانت الناقلتان في نفس الطول، فإنهما يكونان متساويين، وعندئذٍ يشير كل منهما إلى نفس الاتجاه، على سبيل المثال، إذا كانت الناقلتان تشيران إلى الجنوب بـ10، فإنه يمكن القول إن الناقلتان متساويتان.
- ضرب المتجهات: تتميز المتجهات بأنها قابلة للضرب، ويتم تقسيم ضرب المتجهات إلى نوعين: الضرب القياسي والضرب الاتجاهي.
- ضرب متجه في كمية قياسية: تتحكم هذه العملية في تغيير طول المتجه وليس تغيير قيمته، وبالنسبة للاتجاه، فإنه لا يتأثر عند ضرب أي رقم.
- طرح المتجهات: طريقة طرح المتجهات تشبه طريقة جمعها، ولكن الفرق بينهما هو أنه بدلاً من جمع المتجهين، يتم إضافة المتجه الأول إلى الناقص من المتجه الثاني، أي يتم إضافة المتجه الثاني إلى المتجه الأول بعد عكسه.
- المتجه سالب: يشير المتجه السالب إلى الرقم الذي ينتج عن طرحه من أحد المتجهات نتيجة صفر، ويجب الانتباه إلى أن المتجه السالب يحمل قيمة سالبة لنفس المقدار الموجب، وأن الزاوية بينه وبين المتجه الموجب تقريبًا 180 درجة.
مميزات المتجهات
تتميز المتجهات بالعديد من المميزات المختلفة، والتي يمكن أن تؤثر من الناحية العلمية على العديد من العلوم التطبيقية، وتشمل بين مميزاتها ما يلي.
- يتميز النظام الخاص بالمتجهات بالقدرة على توفير معلومات عن العقارات.
- تُساعد هذه الأدوات على التمييز بين الكميات المتجهة والكميات السلمية، المعروفة أيضًا باسم الكميات العددية أو الكميات القياسية.
- يساعد هذا التطبيق على توضيح الفرق بين الكميات المتجهة والكميات العادية.
- تُساهم المتجهات في تصنيف الكميات الفيزيائية إلى كميات عددية ومتجهات. ويُستخدم الرسم لتمثيل هذه المتجهات بحيث يتم تحليلها على عدة مستويات، والتي تحتوي على محورين متعامدين، وذلك لإيجاد قيمة خاصة بالمتجهات التي يتم التعرف عليها من خلال المركبات السينية والصادية الخاصة بها.
خاتمة بحث عن المتجهات الرياضية في المستوى الإحداثي
تعرفنا في هذه الرحلة الخاصة داخل البحث عن المتجهات الرياضية في المستوى الإحداثي، ونأمل أن ينال هذا البحث إعجابكم، إذ أننا قدمنا لكم المعلومات التي ترغبون فيها بالشكل الذي يناسبكم للاستفادة والدراسة بشكل أفضل.
بحث عن المتجهات الرياضية في المستوى الإحداثي pdf
الكثير من أبنائنا الطلاب قد يحتاجوا إلى الحصول على نسخة خاصة من البحث، حتى يتمكنوا من الاستفاد منه بشكل أكبر، ويستطيعوا الحصول عليه دون الحاجة إلى التفتيش والبحث مرة أخرى على صفحات ومواقع الإنترنت، ولذلك عملنا على توفير نسخة من البحث جاهزة للطباعة مباشرة، ولا تحتاج لأي جهد أو تعديل عليها، وتلك النسخة بصيغة pdf، والتي تعمل على مختلف أنظمة التشغيل والأجهزة الذكية، ويمكنك الوصول إلى النسخة الخاصة بك من البحث عن طريق الضغط على “الرابط“.
يمكنكم الإطلاع على مزيد من المعلومات حول:(بحث عن اهمية الرياضيات).
المراجع
