شرح حجم المخروط الدوراني
سنقدّم اليوم شرحًا لحجم المخروط الدائري، وهو أحد أهم الأشكال الهندسية التي نراها في حياتنا اليومية، مثل قمع الآيس كريم، وسنتعرّف من خلال مقالتنا على مفهوم المخروط الدائري وعلى بعض القوانين الهامة، مثل حجم المخروط الدوراني، وذلك من خلال موسوعتنا.
مفهوم المخروط الدوراني(Cone) :
هو شكل ثلاثي الأبعاد يتكون من قاعدة دائرية واحدة فقط متصلة بنقطة خارجية لا تنتمي لمنحى القاعدة، وتُسمى تلك النقطة برأس المخروط، ويُطلق على المنحى الخط الدليلي، كما يمكن تسميته بالهرم الدائري.
إذا قمنا بتجربة وأتينا بمثلث قائم الزاوية، ودار حول أحد ضلعي الزاوية القائمة بزاوية تساوي 360 درجة، فإن الخط الدليلي سيصبح دائرة، وسنلاحظ أن الشكل الذي ينتج عن الدوران هو مخروط دائري.
يُطلق على المخروط الذي يكون العمود الذي يصل من رأسه لمركز الدائرة عموديًا عليه اسم `مخروط دائري قائم` .
يطلق على المخروط الدائري المستقيم اسمه إذا كانت نقطة مركز الدائرة تقع مباشرةً فوق رأس المخروط أو تحته .
قانون حساب حجم المخروط الدوراني :
يمكن حساب حجم المخروط الدائري من خلال معرفة نصف قطر القاعدة (نق) والارتفاع للمخروط، وصيغة القانون كما يلي :
حجم المخروط الدائري = الارتفاع × مساحة القاعدة ÷ ٣
أي أن الحجم = ل × (ط × نق² ) ÷ 3
حيث أن :
نصف قطر الدائرة المرفوع لأس اثنين يعني طول قطر الدائرة .
تُمثّلها الحرف (ط)، وتساوي 22 / 7 أو 3.14 .
الرمز (ل) يُمثِّل طول المخروط الذي يبيِّن المسافة من رأس المخروط إلى مركز الدائرة .
لا ينبغي نسيان حجم الأسطوانة الذي يساوي ثلاثة أضعاف حجم المخروط الذي يشترك معها في الارتفاع والقاعدة.
خطوات حساب الحجم :
- أولا نقوم بكتابة صيغة القانون الذي سوف نعوض فيه كالتالي : حجم المخروط الدائري = الارتفاع × مساحة القاعدة ÷ ٣ .
- يتم حساب مساحة قاعدة المخروط التي تساوي مساحة الدائرة باستخدام القانون التالي: مساحة الدائرة = (ط × نق²)، ثم يتم حساب مساحة المخروط بتطبيق الصيغة المناسبة .
- في النهاية، نضرب ارتفاع المخروط في مساحة القاعدة ثم نقسم الناتج على 3 .
أمثلة توضح حساب حجم المخروط :
مثال 1 :
احسب حجم المخروط الدائري إذا كان ارتفاعه 7 متر وقطره 9 متر
الحل :
- نكتب صيغة القانون كالتالي : حجم المخروط الدائري = الارتفاع × مساحة القاعدة ÷ ٣ .
- نحسب مساحة قاعدة المخروط من خلال استخدام القانون التالي : مساحة الدائرة = (ط × نق² ) .
ومع ذلك، يجب الانتباه إلى أن المعطى هو طول القطر، ولكننا بحاجة إلى طول نصف القطر، لذا سنقوم بقسمة طول القطر على 2 كالتالي :
- نق = طول قطر القاعدة ÷ 2
- نصف قطر القاعدة = 9 ÷ 2 = 4.5 م
إذا
- مساحة الدائرة = ط × نق²
- مساحة القاعدة = 3.14 × (4.5)² = 63.585 متر مربع
- إذا كان حجم المخروط = 7 × (63.585) ÷ 3، فإنه يساوي 148.365 متر مكعب .
مثال 2 :
يتم تصنيع قمع آيس كريم على شكل مخروط دائري ويتم ملئه بالآيس كريم حتى يصل إلى الحافة، ويُعلم أن نصف قطر القمع المخروطي يبلغ 3 سم وارتفاعه 10 سم، ويتم حساب حجم الآيس كريم داخل المخروط .
الحل :
- في البداية نكتب صيغة القانون كالتالي : حجم المخروط الدائري = الارتفاع × مساحة القاعدة ÷ ٣ .
- و الان نحسب مساحة قاعدة المخروط من خلال قانون مساحة الدائرة = (ط × نق² ) كالتالي : مساحة القاعدة = 3.14 × (3)² = 28.26 سم2 .
- ومن خلال تعويض القيم في قانون الحجم: 10 × (28.26) ÷ 3 = 94.2 سم مكعب .
مثال 3 :
احسب حجم مخروط دائري قائم، إذا كان له نفس ارتفاع أسطوانة دائرية ونصف قطر قاعدتها، علمًا بأن حجم الأسطوانة هو 3360 سم³.
الحل :
بما أن حجم المخروط يساوي ثلث حجم الأسطوانة التي يشترك معها في الارتفاع والقاعدة، فإنه يمكن تحديد حجم المخروط بهذه الطريقة.
حجم المخروط = 33360 ÷ 3 = 11120 سم³.
إذا كان حجم المخروط الدائري القائم الزاوية 11120 سم³
