بحث عن خصائص الأعداد الحقيقية

نقدم لكم في هذا المقال شرح و بحث عن خصائص الأعداد الحقيقية مع الأمثلة الموضحة ، يمكن أن تعرف الأرقام على أنها مجموعة رموز يتم استخدامها من أجل التعبير عن الأعداد التي تقع بين الصفر والتسعة، وهي بذلك لا تعتبر أعداد بل تعتبر أشكال يتم من خلالها التعبير عن مقدار وكمية الأشياء، فمثلا نجد أن رمز العدد سبعة هذا هو عبارة عن رقم واحد فقط وهو الرقم 7، في حين نجد أن رمز العدد 73 يتكون من رقمين وهما الرقم 3 والرقم 7، فنستنتج مما سبق أن الأعداد أو الأرقام هي الأساس الذي عليه يقوم كافة العمليات الحسابية بمختلف أشكالها بكافة المجالات مثل الرياضيات والإحصاء والفيزياء وغيرهم، وتتضمن الأعداد هذه ست مجموعات وتنتمي لمجموعة أعداد تعرف باسم مجموعة الأعداد الحقيقية، وهذا ما سنتحدث عنه بمقالنا اليوم حول الأعداد الحقيقية وإليكم مزيد من التفاصيل على الموسوعة .

بحث عن خصائص الأعداد الحقيقية

الأعداد الحقيقية

• يمكن تعريف الأعداد الحقيقية في الرياضيات بأنها مجموعة من الأعداد غير المحدودة، يمكن تمثيلها على خط مستقيم متصل، ويطلق عليه هذا الخط اسم خط الأعداد.
• تتضمن الأعداد مجموعات متنوعة، منها مجموعة الأعداد النسبية ومجموعة الأعداد غير النسبية ومجموعة الأعداد الطبيعية وأخيرًا مجموعة الأعداد الصحيحة.

نشأة الأعداد الحقيقية

نعلم جميعًا أن بعض الكميات والأطوال والمقادير يصعب قياسها باستخدام الأعداد الصحيحة أو الكسرية، وإنما يتم تمثيلها بأعداد غير كسرية، ويمكن تصور هذه الأرقام على أنها أعداد غير منتهية، وتمت فكرة نشأة الأعداد من هذه الحاجة.

أهم خصائص الأعداد الحقيقية

• إذا كانت أ، ب، ج أعداد تنتمي لمجموعة الأعداد الحقيقية، فإنّ:[١] يساوي (أ+ب) عددًا حقيقيًّا، وكذلك (أ- ب) يساوي عددًا حقيقيًّا، على سبيل المثال، (3=1+2)؛ حيث إن العدد 3 هو عدد حقيقيّ، وكذلك (1=1-2)، وهو أيضًا عددٌ حقيقيٌّ. (أ×ب) يساوي عددًا حقيقيًّا، وكذلك (أ/ب)؛ حيث لا يساوي ب الصفر، على سبيل المثال، (2=2×1).
• يُعَدّ العدد صفر عددًا حقيقيًا؛ حيث يمثل العنصر المحايد في عملية الجمع، على سبيل المثال (5=0+5). كما يُعَدّ العدد 1 عددًا حقيقيًا؛ حيث يمثل العنصر المحايد في عملية الضرب، على سبيل المثال (5=1×5). ويكون النظير الجمعي لأي عدد حقيقي هو عدده المعاكس، فمثلاً النظير الجمعي للعدد (أ) هو (-أ). ويكون النظير الضربي لأي عدد حقيقي غير صفر هو مقلوبه، فمثلاً النظير الضربي للعدد (أ) هو (1/أ).
• تشمل الأعداد الحقيقية الصفر وأي عدد موجب أو سالب يُعبر عنه بجمعة ومقام، بالإضافة إلى الأعداد غير الكسرية، مثل رمز الباي.

أمثلة توضح كيفية تصنيف الأعداد الحقيقية

مثال1:

• صنف الأعداد التالية إلى أعداد نسبية أو غير نسبية، وشرح السبب. العدد (0.88888…) يمثل كسر عشري متكرر وغير منتهٍ، ويمكن تمثيله على شكل (أ/ب)، حيث أ وب عددان صحيحان وب لا يساوي صفر، لذلك فهو يعتبر عددًا نسبيًا. أما العدد (0.151151115111115…)، فيمثل كسر عشري غير منتهٍ وغير متكرر ضمن نمط معين، ولا يمكن تمثيله على شكل (أ/ب)، حيث (أ، ب) عددان صحيحان وب لا يساوي صفر، لذلك فهو يعتبر عددًا غير نسبيًا.
• الجذر التربيعي للعدد 2. الحل: يُمثّل الجذر التربيعي للعدد 2 عددًا غير نسبيًا؛ حيث لا يمكن تمثيله على شكل (أ/ب)، حيث أ وب عددين صحيحين وب لا يساوي الصفر.

مثال2:

• يتم تصنيف الأرقام التالية على أنها أرقام طبيعية وصحيحة ونسبية وغير نسبية وحقيقية: 1 و 0.52 و -15 و 1/2 والجذر التربيعي للرقم 23.
• تتميز هذه الخاصية بخصائصين رئيسيتين: أنها مكتملة وحقل مرتب، وتتمثل خصائصها كمجموعة عددية في:
• o     الأعداد الطبيعية “ط”، (بالإنجليزية: مجموعة الأعداد الطبيعية هي مجموعة الأعداد الواقعة بين الصفر والمالا نهاية الموجبة، وتتضمن الأعداد الموجبة والصفر، حيث يعتبر العدد الموجب هو العدد الذي يحمل إشارة موجب (+) على يمينه، أو بدون إشارة.
• {0 , 1, 2, 3, ……}
• o     الأعداد الصحيحة “ص”: (بالإنجليزية: Integer Number) هي مجموعة الأعداد الواقعة بين الما لا نهاية السالبة والما لا نهاية الموجبة مرورا بالصفر. أي أنها تشمل مجموعة الأعداد الموجبة والسالبة وأيضا الصفر. والعدد السالب هو عدد يحمل إشارة سالبة (-) على يمينه.
• { …….,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,……}
• o     الأعداد النسبية ” ن” : تعني المجموعة الأعداد الكسرية الصحيحة التي يمكن تمثيلها بتقسيم عدد صحيح على عدد آخر صحيح غير صفر.
• {أب. أ، بأعداد من مجموعة الأعداد الصحيحة، ب ليس صفر}.

مثال:

• { 14 , -510 , ….}.
• o     الأعداد غير النسبية: الأعداد اللا نهائية وغير الدورية التي لا يوجد لها جذور على شكل عدد طبيعي مثل جذر العدد ثلاثة التكعيبي.
• تتضمن مجموعة الأعداد الحقيقية أعدادًا لا يمكن تمثيلها على شكل كسري، مثل العدد باي (π) وعدد أويلر والنسبة الذهبية.

مميزات الأعداد الحقيقية

1. الأعداد الطبيعية (N): هذه هي الأعداد {. . . . . 1،2،3،4،5}، ويعتبر أي عدد يقع بين الصفر واللانهائية من الأعداد الطبيعية.
2. الأعداد الكلية(W): هي الأعداد الطبيعية بالإضافة إلى الصفر وتكون كالتالي {0، 1، 2، 3، 4، 5} وهكذا
3.  الأعداد الصحيحة(Z): هي الأعداد الكلية والسالبة، وهي الأعداد الموجودة بين اللانهاية الموجبة واللانهاية السالبة بالإضافة إلى الصفر، ويمكن تمثيل تلك الأعداد على شكل كسر بقيمة المقام الواحد.
4. الأعداد النسبية(Q): تتميز الأعداد الكسرية بالعديد من الخصائص، مثل احتوائها على مقامات وبسطات وجذور مربعة، ويشترط أن لا يكون المقام يساوي الصفر، لأنه في حالة تقسيم العدد على الصفر سينتج قيمة غير محددة.
5. الأعداد الغير نسبية(I): الأعداد غير المنتهية وغير الدورية هي تلك التي لا يمكن جذرها، والتي لا يمكن تمثيلها على شكل كسر أو كسر عكسي، وتشمل هذه الأعداد الكسور العشرية الغير منتهية وجذور المربعات غير الكاملة.

العلاقات بين مجموعات الأعداد

ضبط علماء الرياضيات العلاقات بين مجموعات الأعداد المختلفة مثل الأعداد الطبيعية والحقيقية والصحيحة والنسبية والغير نسبية على النحو التالي:

• مجموعة الأعداد الطبيعية هي جزء من مجموعة الأعداد الصحيحة.
• المجموعة الصحيحة هي جزء من مجموعة الأعداد النسبية.
• مجموعة الأعداد النسبية هي جزء من مجموعة الأعداد الحقيقية.

خط الأعداد الحقيقية

• يطلق عليه المستقيم الحقيقي أو المستقيم العددي، وقد ابتكره عالم الرياضيات الإنجليزي جون واليس، ويتم الإشارة إليه باستخدام الرمز X`OX.
• الخط العددي هو خط أفقي يحتوي على جميع الأعداد الحقيقية السالبة والموجبة والصفر، ويتميز هذا الخط بوجود نقاط متساوية على المسافات بينها تمثل كل نقطة عددًا حقيقيًا محددًا.
• يحتوي كل من الجانبين لخط الأعداد الحقيقية، سواء كانت الأعداد موجبة أو سالبة، على علامة لا نهاية تدل على عدم وجود نهاية للأعداد، وتمثل هذه العلامة بالرمز ∞.

اهميه الأعداد الحقيقية

• إن استخدام الأعداد الحقيقية ليس مقتصرًا على علم الرياضيات فحسب، بل يتم استخدامها أيضًا في مجال الفيزياء.
• أدت النظريات الرياضية التي تعتمد على الأعداد الحقيقية إلى إنتاج العديد من المفاهيم الفيزيائية مثل التسارع والسرعة اللحظية.
• تستخدم بعض الحسابات الخاصة بالحاسوب الآلي بعض الأعداد الحقيقية فقط، وليس كل الأعداد.

المراجع

1