بحث عن الدوال وانواعها وتغيراتها
يعاني العديد من الطلاب من صعوبة في فهم علم الرياضيات، ولذلك سنقدم لكم في هذا المقال بحثًا عن الدوال. ليس على الطالب سوى الصبر والتركيز لتعلم علم الدوال، وليس ذلك بسبب صعوبته فقط، ولكن لأنه علم واسع مليء بالأفكار الكثيرة.
في هذا المقال، سنتناول الدوال التي اكتشفها العالم الإنجليزي غوتفريد لايبنتر في عام 1649م، عندما كان يحاول وصف المنحنيان والكمية التابعة لها كالميل عند نقطة مُحددة من المنحنى. وحتى يومنا هذا، نتعلم صياغة الدوال والتغيرات التابعة لها بشتى أنواعها. ولذلك، سنقدم في المقال التالي عبر موسوعة بحثًا عن الدوال.
بحث عن الدوال
- الدالة هي عبارة عن تمثيل رياضي للعلاقة بين مجموعة من العناصر المعروفة باسم (المنطلق) ومجموعة أخرى من العناصر المعروفة باسم (المستقر). ويتم ربط العنصر الوحيد من المنطلق، والممثل بالرمز X، بعنصر وحيد من المستقر، والممثل بالرمز Y.
- وبناءً على ذلك، يمكنك أن تجد أن كل عنصر في مجموعة X المنطلقة وكل عنصر في مجموعة Y المستقرة يمكن أن يرتبط بأي عنصر آخر في الآخر، وليس فقط بعنصر واحد فقط، بل يمكن أن يرتبط عنصر في مجموعة Y بجميع عناصر مجموعة X.
- من المهم عدم الخلط بين المنطلق والمستقر، لأن في هذه الحالة تعطي الدالة كل القيم الموجودة في المستقر، مما يجعل المنطلق يتحول إلى مجموعة جزئية من المستقر.
مجال الدالة
- تعد مجموعتان مقترنتين إذا كان أي عنصر من إحداهما مرتبط بعنصر واحد على الأقل من الآخر.
- الاقتران هو دالة أو تطبيق أو تابع، ويتألف من النطاق أو المنطلق والنطاق المرافق أو المستقر، والقاعدة التي تربط بين أي عنصر من النطاق بعنصر من النطاق المرافق.
- تسمى الصور النطاقية لعناصر النطاق ، التي تتألف من المجموعة الجزئية للنطاق المرافق ، مجال الدالة أو مدى الاقتران.
مدى الدالة
- عند استبدال قيم مجال الدالة، يمكن أن تنتج مجموعة قيم تعرف باسم مدى الدالة.
أنواع الدوال متغيرة
الدالة الثابتة
- في الدوال الثابتة، يبقى الاقتران ثابتًا، ويتميز المتابع بثبات قيمته، وعادةً ما يكون مشتق الدالة الثابتة يساوي الصفر.
- يعبر هذا المشتق عن قيمة التابع التي لا تتغير.
- في نظام الإحداثيات الديكارتية، يتم تمثيل الدالة الثابتة بالخط المستقيم الموازي لمحور السينات والمتقاطع مع محور العينات عند قيمة التابع الثابتة.
الدالة المركبة
عند الاقتران بدالة، يتم تكوين مركب، ويعني التراكب أن نتائج الدالة الأولى تتأثر بالدالة الثانية.
الدالة التحليلية
- تكون الدوال العقدية متكاملة الشكل وتشمل الدوال المثلثية واللوغاريتمية، بالإضافة إلى الدوال العالية والدوال المتعددة.
- تتميز هذه الدالة بأنها يمكن اشتقاقها من عدد لا نهائي، ومقلوبها لا يساوي صفر في أي نقطة.
الدالة الضمنية
- تعتبر دالة متعددة المتغيرات ولها اقتران تضامني، وعادة ما تكون تلك الدالة متعددة الحدود.
- تكون الدالة صريحة إذا ظهر المتغير الذي تتبعه أي دالة في طرف المعادلة الرياضية، وظهر المتغير المستقل في الطرف الآخر منها.
الدالة الزوجية
- تتميز الدوال الزوجية بأنها تتماثل حول المحور الرأسي، وتصبح دالة زوجية عندما يتم تركيبها مع دالة زوجية أخرى.
- عندما يتم تركيبها مع دالة زوجية أخرى، فإن الناتج يكون دالة زوجية أيضًا، وجمع أو طرح أو قسمة دالتين زوجيتين ينتج عنه دالة زوجية.
- عندما يتم جمع دالة زوجية وفردية، يتم إنتاج دالة لا زوجية ولا فردية، وعندما يتم قسم دالة زوجية على دالة فردية، يتم إنتاج دالة فردية.
الدالة العكسية
عناصر الدالة العكسية تكون معكوسة للمجال المقابل، وإذا كانت الدالة تناظرية من أ إلى ب فإن الدالة العكسية تكون من ب إلى أ، ولأن كل دالة لها دالة عكسية واحدة، فالدالة العكسية تتميز بالوحدة.
الدالة المتطابقة: الدالة المتجانسة أو المحايدة هي دالة ترتبط فيها عناصرها ببعضها البعض، وإذا حفظت هذه الدالة قيم المتغيرات فيها فإنها تصبح دالة متطابقة.
الدالة الشاملة
الدالة التي يكون مجالها متساويًا مع المجال المقابل، وعند تمثيلها بشكل بياني، يصل سهم واحد في المجال المقابل لكل عنصر فيه.
الدالة الصريحة
إذا كان أحد الأطراف في المعادلة هو المتغير الذي يعتمد عليه الدالة والآخر هو المتغير المستقل، فإنه يكون اقترانهما صريحًا.
الدالة المستمرة
هي الدالة التي يتغير معاملاتها وبالتالي تتغير قيمتها.
الدالة المتناقضة
وهي التي تحتوي على اقتران متناقض.
الدالة الأسية
تكون أرقامها متساوية ولا يمكن أن تكون الصفر واحدًا منها.
الدالة التزايدية
تتميز هذه الأشكال بشكل رياضي وتشمل الدوال التربيعية والتكعيبية.
الدالة الفردية
لها شرط يتعلق بالتماثل ويجب أن يكون زوجها فرديًا.
أنواع الدوال المتغيرة وفقاً لعدد المتغيرات
- تنقسم الدوال إلى عدة أشكال وذلك وفقًا لعدد المتغيرات.
- إذا كانت الدالة تعتمد على متغير واحد في مجالها، فإنها تسمى دالة المتغير الواحد المستقل، ومن الأمثلة على ذلك العلاقة بين الدخل والإنفاق.
- إذا كانت الدالة ذات اثنين من المتغيرات المستقلة، يمكن أن تشمل مساحة المستطيل كأحد أمثلتها.
- وإذا كانت بثلاث متغيرات، فإنها تسمى دالة ذات ثلاثة متغيرات مستقلة، ومن الأمثلة عليها المتوازي الأضلاع.
أنواع الدوال طبقًا لشكلها الرياضي
- الدالة الثابتة: يتم كتابتها باستخدام صيغة f(x=c) حيث ينتمي c إلى R.
- الدوال كثيرة الحدود: تُكتب بتلك الصيغة f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a0x0 + a0.
تمثيل الدوال المتغيرة
الدوال المتغيرة تنقسم إلى أربعة أقسام وهما:
التمثيل الجبري
إذا كان د(س) = 3س + 1، فما هي قيمة المصفوفة عند الأرقام 4 و 5
إذاً الحل سيكون:
د(5)=3(5)+1=16
د(4)=3(4)+1=13
التمثيل البياني
العناصر التي تنتمي إلى المحور س هي العناصر المنطلقة، بينما العناصر التي تنتمي إلى المحور ص هي العناصر المستقرة. يتم تمثيل كل عنصر مع صورته في نفس النقطة، ثم يتم توصيل هذه النقاط معًا لتكوّن الشكل البياني للدالة.
أشكال أخرى للدوال المتغيرة
- تمثيل كلامي
- تمثيل باستخدام نظام القائمة
تغيرات الدوال المتغيرة
تنقسم تغيّرات الدوال إلى ثلاثة أنواع وهي التغيّرات العكسية والطردية والمركبة، وسنناقشها معًا:
التغيرات العكسية
في هذه الحالة يحدث تغيير عكسي يؤثر على المتغيرين
التغير الطردي
في هذه الحالة، يتغير شكل المتغيرين بنفس النسبة بينهما، ويمكنك الاطلاع على المثال التالي:
إذا كانت النسبة بين المتغيرين أ/ب = س، فسيكون الناتج أ/ب = س.
التغير المركب
في هذه الحالة يتم دمج المتغير المتزايد مع المتغير المنخفض.
وفي النهاية، بعد أن شرحنا لكم بحثًا عن الدوال وأنواعها، وقدمنا شرحًا مفصلًا لكيفية تمثيلها، نتمنى أن نكون قد أفدناكم في موضوع اليوم الذي كنتم تبحثون عنه.
المراجع
